Изследвания / URSlab
Автономна навигация
Алгоритми за INS/GNSS, полет по ортодромии и координирани завои върху елипсоида WGS 84, планиране на маршрути в реално време.
Уникален модел
Завои по затворен маршрут — от излитане в WP2 до кацане в WP9 — чрез уравнението на Кумер
Класическите алгоритми за завой приемат Земята за плоска или сферична и водят самолета по дъга с постоянен радиус. Тук завоят е клотоида върху реалния елипсоид WGS 84, а законът на пътния ъгъл е изразен аналитично чрез функцията на Кумер. Доколкото ни е известно, това е първото аналитично решение на координиран завой между геодезични ортодромии, което отчита едновременно формата и въртенето на Земята.
ψT(t) = ψpart + (α1 − ψpart) · M(a, ½, −q t²/2), 0 ≤ t ≤ T*
Научни приноси
- Условието за координиран завой без хлъзгане (баланс на центробежната сила и теглото по напречната ос) е внесено в диференциалните уравнения на геодезичната линия върху WGS 84 чрез геодезичната кривина kg = g·tan γ / W² (14). Така е получена система (15) за полет по клотоида във функция на времето, която отчита едновременно крена, главните радиуси на кривина G и Q, въртенето на Земята Ω и сближаването на меридианите.
- Вертикалният канал е разширен с диференциално уравнение за тангажа (в (15)), което съгласува тангажа с кривината на елипсоида по текущия пътен ъгъл. Така завоят се изпълнява на постоянна височина над WGS 84, без „снижаване“ под хоризонта при дълги траектории.
- Доказано е, че уравнението на пътния ъгъл се свежда до частен случай на конфлуентното хипергеометрично уравнение на Кумер (b = ½). Получен е закон на пътния ъгъл ψ(t) в аналитичен вид чрез функцията на Кумер M(a, ½, z) — аналитично решение там, където досега се използват числено интегриране или приближения със сфера и постоянен радиус.
- От граничните условия в точката на откъсване b₁ и точката на прихващане b₂ е изведено трансцендентно уравнение (31) за продължителността на завоя T; неговият корен определя еднозначно скоростта на изменение на крена k (32) и цялата траектория (33).
Научно-приложни приноси
- Алгоритъм за системата за управление на полета (FMS): T, k и разстоянието до точката на откъсване се изчисляват предварително, преди достигане на WP — без числено интегриране по време на полета.
- Плавно влизане в завоя: страничното ускорение нараства от нула, без скока, присъщ на класическия завой с постоянен радиус. Това намалява динамичните натоварвания, улеснява следенето от автопилота и стабилизира бордовите сензори.
- Приложимо при автономни безпилотни летателни системи и при пилотирани въздухоплавателни средства; демонстрирано по маршрут от 7 точки над Северна България (W = 150 m/s, γmax = 30°).
Източник: A. Madzharov, „Application of Kummer's Equation for Flight Between Two Geodesic Orthodromes in a Coordinated Turn“, AMiTaNS 2026 — AIP Conference Proceedings (подадена).
Изчислителен модел
Всички стойности по-долу се изчисляват на живо в браузъра по уравненията от статията. Променете скоростта или максималния крен — продължителността на завоя, скоростта на крена и точката на откъсване се преизчисляват за всеки WP. Сравнението е с класическия завой с постоянен радиус.
Изберете завой от картата или от таблицата.
Клотоида по уравнението на Кумер (31), (33)Класически завой с постоянен радиус (1), (2)
| WP | B, L [°] | Δα [°] | TK [s] | kK [1/s] | dK [km] | Tcl [s] | TADcl [km] |
|---|
Tₖ и kₖ — корен на трансцендентното уравнение (31) с функцията на Кумер M(a, ½, z), изчислен в браузъра; dₖ — разстояние от точката на откъсване b₁ до WP. Радиусите на кривина G₀, Q₀ са на WGS 84 в точката на завоя. Картата е само за изобразяване (локална проекция); изчисленията не зависят от нея.
Публикации по направлението
Application of Kummer's Equation for Flight Between Two Geodesic Orthodromes in a Coordinated Turn
A. Madzharov
AMiTaNS 2026 — IOP Publishing, Journal of Physics: Conference Series
A coordinated turn between two adjacent orthodromes is described by a clothoid on the WGS 84 ellipsoid. The heading equations reduce to a special case of Kummer's confluent hypergeometric equation, giving a closed-form heading law that lets the FMS compute turn duration and roll rate in advance.
Precise Calculations of Gravity Anomalies from the Geometric Height for Autonomous Air Navigation
A. Madzharov
AMiTaNS 2026 — IOP Publishing, Journal of Physics: Conference Series
An analytical gravity model on WGS84 constants with an exact geometric relation for the vertical line. It matches WGS84/Somigliana within ±1.5 mGal at sea level and removes a latitude-dependent bias of up to 260 mGal at altitudes up to 10 km.
A Highly Accurate Calculation of the Difference Between Geocentric and Geodetic Latitude in Flight
A. Madzharov, S. Hristozov
EnviroRISKs 2026 (N. Dobrinkova, S. Fidanova, Eds.) — Springer, Lecture Notes in Networks and Systems 2240 · DOI 10.1007/978-3-032-39070-7_6 (още не е активен)
Geocentric distance from the prime-vertical radius with a coefficient proportional to e⁴, including flight altitude — yielding high-accuracy analytical geocentric–geodetic latitude differences and a differential equation of the meridian ellipse for geodesic-line computation.
Compensations for Horizontal Inertial Components of INS/GNSS with Flight Altitude
Madzharov, A., Hristozov, S., Gaidarski, I.
Engineering Proceedings 150(1), 70, MDPI · DOI 10.3390/engproc2026150070
URSlab Website and Information System for Reporting the Publication Activity of a Scientific Department of BAS: Source Code (v1.1.0)
A. Madzharov
Zenodo — Software (files with restricted access) · DOI 10.5281/zenodo.23111566
Version 1.1.0 extends the URSlab website into an information system for recording, validating and reporting the publication activity of a scientific department of BAS: yearly publication pages categorised as in the BAS reporting system, combinable filters with a live reporting summary and CSV export, per-member summary reports, and entry of new publications by team members with APA validation, GitHub-based identity and automatic re-validation.
URSlab Website and Interactive Coordinated-Turn Model: Source Code (v1.0.0)
A. Madzharov
Zenodo — Software (files with restricted access) · DOI 10.5281/zenodo.23086274
Source code of the URSlab website, including the interactive browser model of a clothoid coordinated turn between two adjacent orthodromes, with comparison to a constant-radius arc and the curvature profile along the route.
Assessment of GNSS Performance and Error Bounding for SAIL III UAS Operations
González-deSantos, L. M., Bruzual, J., Socías, D., Lacarra Arcos, E., Santos, M., González, R., Gil, E., Moreno López, G., Hristozov, S., Karas, J., Vyshnevskyy, M., Gebhardt, J., Haro, P., Bellingham, S. R.
Drones 9(11), 776, MDPI · DOI 10.3390/drones9110776
The Applicability Of Quantum Gyroscopes For Navigation
Madzharov, A.
Engineering Sciences LXII(1), Bulgarian Academy of Sciences, pp. 37–44 · DOI 10.7546/engsci.lxii.25.01.06
Design of an Unmanned Helicopter System for Collecting and Processing of Geophysical Information
Madzharov, A., Hristozov, S., Chehlarova, N., Georgiev, R., Gaidarski, I., Alexandrov, A.
Complex Control Systems 7, IR-BAS
Design of a testing model for evaluation the levels of automation and autonomy of a helicopter autopilot
Hristozov, S., Madzharov, A., Chehlarova, N.
Complex Control Systems 7, IR-BAS
Структура и приложение на спътниковите навигационни системи [Structure and Application of Satellite Navigation Systems]
Маджаров, А.
В. Търново: НВУ „Васил Левски“, 177 с.
The influence of the free air anomaly over the stability of the vertical channel in strapdown inertial navigation system (SINS)
Madzharov, A. N., & Biliderov, S. S.
Proceedings of the First International Conference on Cartography & GIS, 25–28 January 2006, Borovets, Bulgaria, pp. 1–8
Applying corrections from the theoretical model of the geoid when differential mode of GPS is used in landing
Madzharov, A. N.
Proceedings of the First International Conference on Cartography & GIS, 25–28 January 2006, Borovets, Bulgaria, pp. 1–8
Моделиране траекторното движение на летателен апарат по зададен маршрут и профил на полета [Modelling the trajectory motion of an aircraft along a given route and flight profile]
Маджаров, А. Н., & Билидеров, С. С.
XII Международна научно-техническа конференция Trans & MOTAUTO’05+, 23–25 ноември 2005 г., В. Търново, Proceedings „Technics and Technologies“, т. 2, с. 138–141
Моделиране движението на ортогонален репер върху геодезична повърхност [Modelling the motion of an orthogonal frame on a geodesic surface]
Маджаров, А. Н., & Билидеров, С. С.
Курсантско-студентска научна конференция, 24–25 март 2005 г., В. Търново: НВУ „В. Левски“, с. 91–98
Theoretical research of possibilities for gravitation measurements in motion using the inertial navigation system
Madzharov, A. N., Panova, P. V., & Getsov, P. S.
55th International Astronautical Congress of the IAF, the IAA and the IISL (IAC 2004), Vancouver, Canada, 4–8 October 2004, paper IAC-04-J.P.08, AIAA, Reston, VA (published online 29 Nov 2012) · DOI 10.2514/6.IAC-04-J.P.08
Алгоритъм за съвместна обработка на сигналите от GPS приемник и аерометричен датчик за височина в интегрално изпълнение [An algorithm for joint processing of the signals from a GPS receiver and an air-data altitude sensor in an integrated design]
Маджаров, А. Н., & Билидеров, С. С.
Втора международна научна конференция ХЕМУС 2004, Пловдив. Сборник доклади „Изследвания и технологии за нуждите на отбраната и въоръжените сили“, София: Военна академия – ИПО, с. 81–92
Жироскопи и инерциални навигационни системи [Gyroscopes and Inertial Navigation Systems]
Маджаров, А.
Д. Митрополия: ВВВУ „Георги Бенковски“, 422 с.
Структура и приложение на глобалните навигационни системи NAVSTAR и ГЛОНАСС [Structure and Applications for Global Navigation Systems NAVSTAR and GLONASS]
Маджаров, А., & Тодоров, П.
Д. Митрополия: ВВВУ „Георги Бенковски“ (печат: София, Военно издателство), 191 с.